【科技文明探源】

　　◎本報記者 孫明源

　　今人眼中看似簡(jiǎn)單的數字，其實(shí)是人類(lèi)數學(xué)發(fā)展數萬(wàn)年的智慧結晶。如何表示數、記錄數，采用何種進(jìn)制，直接決定了數學(xué)運算、應用乃至記錄傳承下去的方式。阿拉伯數字具有進(jìn)位明確、便于書(shū)寫(xiě)等優(yōu)點(diǎn)，成為現代世界通用的計數符號。

　　阿拉伯數字其實(shí)是印度人的發(fā)明，因為經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲而得名。學(xué)術(shù)界稱(chēng)為印度—阿拉伯數字。在印度人這一發(fā)明之前，中國就發(fā)展出了一套實(shí)用、完善的記數系統——算籌記數法。中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員鄒大海表示，算籌是中國古代常用的計算工具，也叫算、籌、策、籌策、算子等。用算籌來(lái)記數和計算以及相應的方法，稱(chēng)為籌算。籌算是中國古代數學(xué)的特色。

　　在古代，中國數學(xué)是東亞數學(xué)的代表，在世界數學(xué)史上具有鮮明特色。鄒大海認為，相比于其他地區的古代數學(xué)，中國古代數學(xué)以計算和算法見(jiàn)長(cháng)，其主要原因之一就是普遍采用籌算，不僅產(chǎn)生了先進(jìn)的記數法，而且有一套表示未知量和代數式的方法，它以獨特的方式實(shí)現了代數符號的功能。

　　十進(jìn)位值制記數法最早出現在中國

　　進(jìn)制是數學(xué)的基本概念之一，其含義是“累計若干個(gè)基本單位即形成下一個(gè)單位”。人們比較熟悉的進(jìn)制包括最常見(jiàn)的十進(jìn)制、用于時(shí)間和角度計量的六十進(jìn)制、計算機領(lǐng)域常見(jiàn)的二進(jìn)制和十六進(jìn)制等。

　　進(jìn)制的基礎上發(fā)展出了位值制觀(guān)念，即數字所在的位置可以表示該數字單位對應的倍數。例如在阿拉伯數字5234當中，5所在的位置是“千”位，表示5個(gè)千，而2、3、4在“百”“十”“個(gè)”位，分別表示2個(gè)百、3個(gè)十、4個(gè)一。許多記數系統沒(méi)有位值制觀(guān)念，例如古埃及數字由于沒(méi)有位值制觀(guān)念，顯得非常繁瑣。

　　鄒大海介紹，十進(jìn)制最早見(jiàn)于古埃及；位值制最早見(jiàn)于古代兩河流域，那里的人采用了六十進(jìn)的位值制；而現代通行的十進(jìn)位值制記數法則最早起源于中國。

　　中國人很早就采用了十進(jìn)制，中國漢字的數字記法就是十進(jìn)制系統。一既是基本數字，也是數字單位，此外常見(jiàn)的數字單位有十、百、千、萬(wàn)、億、兆、京等。

　　例如“一兆八千五百三十億二千一十八萬(wàn)八千八百五十一”這個(gè)數，只要把空著(zhù)的數位用〇代替，將兆、億、萬(wàn)、千、百、十等數字單位撤去，就變成“一八五三〇二〇一八八八五一”，這與現代的“1853020188851”一一對應。可見(jiàn)，中國文字記數法是相當先進(jìn)的，可以很容易跟通行的阿拉伯數字表示法進(jìn)行轉化。但是，中國文字表示法只是準十進(jìn)位值制，尚不完善。真正采用十進(jìn)位值制的是算籌記數法。公元14世紀以前，算籌曾是廣泛使用的計算工具，之后就逐漸被算盤(pán)所取代。

　　算籌的形象類(lèi)似筷子，源于遠古人們用長(cháng)條形小棍計數的習慣。用算籌表示一至九有縱、橫兩種形式。

　　《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》說(shuō)：“滿(mǎn)六以上，五在上方，六不積算，五不單張。”意思是，對于一到五，是幾就用幾根算籌表示；對于六到九，則將其中所含的五用一根算籌放在上面表示，余下幾就用幾根算籌與之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七，上面一根表示五、下面兩根表示二。

　　對于多位數，《孫子算經(jīng)》記有其算籌表示法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當。”古人在個(gè)位擺縱式，十位擺橫式，百位又用縱式，千位又用橫式，如此縱橫交錯進(jìn)行。鄒大海強調，本來(lái)只用兩式的一種就夠了，但縱橫交錯的方法更為清晰，也不容易弄亂。算籌記數法大約產(chǎn)生于西周、春秋之際，也可能更早。在出土的先秦陶片和貨幣上可以看到這種記數法的痕跡。

　　籌算具有強大的記數和運算功能

　　籌算加減法比較簡(jiǎn)單，古人沒(méi)有記載。對于復雜的乘除法，古人將算籌擺成三行，中行為乘積或被除數，下行為乘數或除數，上行為被乘數或商。利用九九口訣與算籌記數法相配合，就可以得出結果。這個(gè)過(guò)程在本質(zhì)上與現代的豎式乘除法很接近。

　　籌算還可以求解線(xiàn)性方程組，在公元前1世紀成書(shū)的《九章算術(shù)》中，用一種稱(chēng)為“方程”的方法來(lái)表示問(wèn)題和求解，其表達方式和運算方法都跟現代的增廣矩陣很相似，而求解線(xiàn)性方程組的增廣矩陣方法在歐洲是18、19世紀之交才出現的。鄒大海介紹，在籌算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常數項的作用，相當于現代的分離系數法。正是方程導致了正負數概念的產(chǎn)生，古代一般用黑色和紅色的算籌分別表示負數和正數。

　　《九章算術(shù)》也用籌算來(lái)開(kāi)平方、開(kāi)立方，還用來(lái)求一元二次方程的解。這種方法不斷發(fā)展，到宋代已形成了一套求一元高次方程數值解的方法。宋元時(shí)代還發(fā)展出列方程的普遍方法，先是出現了針對一個(gè)未知量求解的天元術(shù)，后來(lái)發(fā)展到最多可達四個(gè)未知量的高次方程組的列法與解法——四元術(shù)，用天、地、人、物指示未知量。鄒大海強調，這種方法所列出的算式中除算籌和個(gè)別漢字“太”或“元”外，不使用符號，而是通過(guò)位置來(lái)體現未知量及其冪，實(shí)現了代數符號的功能，這在某些方面甚至比現代的符號方法更具優(yōu)勢。

　　中國古代以文字和籌算配合，使得數學(xué)工作得以開(kāi)展并傳承。籌算以其強大的記數、符號和運算功能，在中國古代數學(xué)的發(fā)展過(guò)程中發(fā)揮了重大的作用。

　　后來(lái)隨著(zhù)商業(yè)的發(fā)展，籌算捷法和相應的口訣發(fā)展起來(lái)，之后籌算被珠算取代。珠算通過(guò)沿用、改良籌算的口訣和方法，在商業(yè)、會(huì )計和日常生活中發(fā)揮著(zhù)巨大的作用。

　　但籌算也有其局限性。鄒大海指出，籌算的缺點(diǎn)之一是無(wú)法保留演算的過(guò)程，中間操作有誤就難以追溯。二是算籌使用起來(lái)比較占地方。三是較難實(shí)現超過(guò)四元的列式和運算。

　　籌算影響中國傳統文化

　　明代天元術(shù)、四元術(shù)等失傳，籌算被珠算、筆算取代，但其方法和思想仍在數學(xué)發(fā)展中發(fā)揮作用，甚至已滲透到中國思想文化的方方面面。

　　鄒大海強調，籌算的重要意義在于制訂和利用一系列規則和方法。籌算靠的主要是智力，并特別講究精準，所以在中國傳統文化中很多反映智力活動(dòng)的用語(yǔ)都與籌算有關(guān)。比如謀劃叫“運籌”“籌劃”，用“運籌帷幄，決勝千里”表示指揮官在后方謀劃得好讓前線(xiàn)取得勝利。又如考慮得周全叫“算無(wú)遺策”“胸有成算”，而謀劃失誤則叫“失算”“失策”。其他如人們常說(shuō)的“算計”“暗算”“盤(pán)算”“算命”“勝算”等詞匯，皆源自古代的籌算思維。

　　“古人充分發(fā)掘算籌記數法中的位置功能，并用算籌來(lái)表示代數式，設計相應的運算方法，形成了中國古代獨具特色的籌算傳統。中國古代的算術(shù)和代數在世界上曾處于先進(jìn)乃至領(lǐng)先地位，與籌算有很大關(guān)系。籌算是中華文化的重要組成部分，籌算的思維也對社會(huì )文化和人們的生活產(chǎn)生了一定影響。”鄒大海說(shuō)。（科技日報）